CURSO DE SOM AUTOMOTIVO – AULA 4 (parte 2)

- Observe que não é mais possível falar em taxa de variação apenas, mas em taxa de variação instantânea, pois que para cada ponto da função teremos um valor diferente. A técnica de se traçar retas tangentes a curvas foi descoberta, pela primeira vez, no século XVII, por Sir Isaac Newton e consiste no seguinte processo matemático.
Dada uma certa curva, representada por uma certa função f, estamos interessados em conhecer a taxa de variação instantânea (ou inclinação) da curva num certo ponto t, genérico.
Traçamos uma reta através deste ponto t e de um outro ponto, um pouco adiante, que chamaremos t+Dt (Dt é um pequeno acréscimo). A esta reta, que fornece a taxa de variação média, chamaremos reta secante. A taxa de variação (slew-rate) da reta secante é, pela expressão usual (1.1):

Contudo, esta não é uma boa aproximação para a taxa de variação em t, pois ela compreende uma região relativamente grande. Se diminuirmos progressivamente o acréscimo Dt, aumentaremos a precisão cada vez mais e chegaremos, no limite em que Dt se aproxima de zero, na inclinação da reta tangente, pois o ponto Dt estará infinitamente próximo de t, e assim poderemos, com segurança garantir que, [t, f(t)] e [Dt, f(Dt)] quase se tocam.

Matematicamente o processo é:

- Onde SR é a taxa de variação instantânea da curva no ponto t. A operação d[f(t)]/dt é chamada derivada de f com respeito a t.

- Aplicando o operador derivada ao sinal senoidal de teste do tipo u(t) = A sen(wt),(que nada mais é do que a representação matemática do sinal de teste da figura 2, onde A representa a amplitude, w é a freqüência angular e t o tempo), podemos encontrar todas as taxas de variação possíveis para esta função: d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w
- Não provaremos a passagem d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w, mas o processo é essencialmente o descrito em (1.3); (aos interessados lembramos que aqui foi utilizada a regra da cadeia do cálculo diferencial[1], razão pela qual surge um w fora da função).
Se d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w
podemos facilmente encontrar a maior taxa de variação possível, já que a função cosseno é periódica e tem inclinação máxima (ou mínima) em 0, p, 2p,… (ou seja, em hp c/ hÎ N), e esse valor máximo é sempre unitário (1 ou -1); assim u(t) = A sen(wt) d[u(t)]/dt = A cos(wt)w
- Como o cosseno tem valor máximo em 0, p, 2p,…, fazemos t = 0, assim o fator cos(wt) = 1, e substituindo temos: SR = d[u(t)]/dt = Aw ; em t = 0
- Como w = 2pf, a equação fica: SR (Amax, fmax) = Amax 2pfmax (1.4)
Sendo Amax a amplitude máxima do sinal de teste e fmax a maior freqüência deste sinal. Assim (1.4) representa a maior taxa de variação (slew-rate) possível para uma tensão que varia sinusoidalmente com o tempo, em função da amplitude e da freqüência.

Consideremos um trecho do gráfico. Estamos interessados em conhecer a taxa de variação em um único ponto. O gráfico não é uma reta, assim como medir a inclinação de algo que é, essencialmente, curvo?

- A técnica consiste em se traçar uma reta que toca o gráfico num único ponto, o ponto que estamos interessados. A essa reta dá-se o nome de reta tangente ao gráfico no ponto em questão. A inclinação desta reta tangente pode ser então calculada da maneira usual, fornecendo assim, a taxa de variação instantânea da curva, num dado ponto.

Observe que não é mais possível falar em taxa de variação apenas, mas em taxa de variação instantânea, pois que para cada ponto da função teremos um valor diferente. A técnica de se traçar retas tangentes a curvas foi descoberta, pela primeira vez, no século XVII, por Sir Isaac Newton e consiste no seguinte processo matemático.

Dada uma certa curva, representada por uma certa função f, estamos interessados em conhecer a taxa de variação instantânea (ou inclinação) da curva num certo ponto t, genérico.

Traçamos uma reta através deste ponto t e de um outro ponto, um pouco adiante, que chamaremos t+Dt (Dt é um pequeno acréscimo). A esta reta, que fornece a taxa de variação média, chamaremos reta secante. A taxa de variação (slew-rate) da reta secante é, pela expressão usual (1.1):

Contudo, esta não é uma boa aproximação para a taxa de variação em t, pois ela compreende uma região relativamente grande. Se diminuirmos progressivamente o acréscimo Dt, aumentaremos a precisão cada vez mais e chegaremos, no limite em que Dt se aproxima de zero, na inclinação da reta tangente, pois o ponto Dt estará infinitamente próximo de t, e assim poderemos, com segurança garantir que, [t, f(t)] e [Dt, f(Dt)] quase se tocam.



Matematicamente o processo é:

- Onde SR é a taxa de variação instantânea da curva no ponto t. A operação d[f(t)]/dt é chamada derivada de f com respeito a t.

- Aplicando o operador derivada ao sinal senoidal de teste do tipo u(t) = A sen(wt),(que nada mais é do que a representação matemática do sinal de teste da figura 2, onde A representa a amplitude, w é a freqüência angular e t o tempo), podemos encontrar todas as taxas de variação possíveis para esta função: d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w


Se d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w podemos facilmente encontrar a maior taxa de variação possível, já que a função cosseno é periódica e tem inclinação máxima (ou mínima) em 0, p, 2p,… (ou seja, em hp c/ hÎ N), e esse valor máximo é sempre unitário (1 ou -1); assim u(t) = A sen(wt) d[u(t)]/dt = A cos(wt)w
- Como o cosseno tem valor máximo em 0, p, 2p,…, fazemos t = 0, assim o fator cos(wt) = 1, e substituindo temos: SR = d[u(t)]/dt = Aw ; em t = 0
Como w = 2pf, a equação fica: SR (Amax, fmax) = Amax 2pfmax (1.4)
- Sendo Amax a amplitude máxima do sinal de teste e fmax a maior freqüência deste sinal. Assim (1.4) representa a maior taxa de variação (slew-rate) possível para uma tensão que varia sinusoidalmente com o tempo, em função da amplitude e da freqüência

- Não provaremos a passagem d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w, mas o processo é essencialmente o descrito em (1.3); (aos interessados lembramos que aqui foi utilizada a regra da cadeia do cálculo diferencial[1], razão pela qual surge um w fora da função).